함수의 미분 가능성이 의미하는 것

함수의 미분 가능성(Differentiability)이란 어떤 함수가 미분 가능한지를 의미한다. 함수 f(x)에서 x=a에서 미분 계수 f'(a)가 존재할 때 a에서 미분 가능하다고 한다.

 

미분 계수가 존재하기 위해서는 미분의 정의로부터 다음의 좌미분계수와 우미분계수가 존재하고 둘이 동일해야 한다.

 

 

미분 가능하다는 것은 함수가 갑자기 변하는 지점이 없이 매끄럽다는 것을 의미한다. 아래의 함수는 a에서 미분 가능하지 않다. 이것은 a에서 매끄럽지 않다는 것을 의미한다.

 

 

함수는 미분 가능 횟수가 제한될 수 있다. 다음 함수와 같이 한 번은 미분이 가능하지만 두 번은 미분이 불가능한 경우도 있다. 아래 그림에서 f'(x=a)는 좌미분계수와 우미분계수가 다르기 때문에 f''(x)는 존재하지 않는다.

 

 

한번 미분 가능한 것은 한번도 미분 불가능한 것에 비해서는 매끄럽지만 두번 이상 미분 가능한 것에 비해서는 매끄럽지 않다.

 

무한번 미분이 가능한 함수를 매끄러운 함수(Smooth function)라고 하고 C^∞ 로 나타낸다. k번 미분 가능할 때는 C^k라고 한다. C⁰는 미분 불가능하지만 연속인 함수를 나타낸다.

 

사인함수는 무한번 미분 가능한 매끄러운 함수이다.