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수학68

기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 마라 플라톤의 이데아 사상에서 수학은 매우 중요하다. 기원전 387년에 플라톤이 세운 학원인 아카데메이아에 입구에는 "기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 마라"라는 간판이 걸려있었다. 그리스어 : ἀγεωμέτρητος μηδεὶς εἰσίτω 라틴어 : Ageometretos Medeis Eisito 한국어 : 기하학을 모르는 자는 이 문으로 들어오지 마라 영어 : Let no-one without knowledge of geometry enter 2023. 6. 10.
Eigenvector와 Eigenvalue 정의 행렬 A가 있을 때 다음 식을 만족하는 v을 Eigenvector라고 하고 λ을 Eigenvalue라고 한다. 다음과 같은 행렬이 있다면 Eigenvector와 Eigenvalue는 다음과 같이 3개가 있다. 2023. 3. 20.
Over-determined과 Under-determined 방정식 계산 연립방정식에서 Over-determined 방정식은 미지수보다 식의 개수가 더 많은 것이다. Over-determined 방정식은 Least-square 방식을 사용하며 다음 식으로 계산한다. 연립방정식에서 Under-determined 방정식은 미지수보다 식의 개수가 더 적은 것이다. Over-determined 방정식의 해는 무한개이다. 해들중 가장 작은 값은 다음 식으로 계산한다. 2023. 2. 26.
벡터 정사영 계산 다음 그림과 같이 벡터 B를 벡터 A로 정사한 벡터 C를 구한다. 벡터 C는 다음 식과 같다. 여기서, B·A는 벡터 내적으로 스칼라값이다. 위 식은 다음과 같이 정리할 수 있다. 여기서, uA는 A 방향 단위벡터이다. 2023. 2. 12.
i의 제곱근 계산 다음 식과 같은 i의 제곱근을 계산할 수 있다. i의 제곱근은 다음과 같이 계산한다. 양변을 제곱하면 다음과 같다. a와 b는 다음과 같다. i의 제곱근은 다음과 같이 2개가 존재한다. 2022. 12. 21.
역삼각함수 종류 역삼각함수의 종류는 다음과 같다. 역삼각함수 삼각함수 x y arcsin sin 역함수 -1 ≤ x ≤ 1 -π/2 ≤ y ≤ π/2 arcosine cos 역함수 -1 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ π arctan tan 역함수 all -π/2 2022. 11. 3.
탄젠트 공간 (Tangent Space, 접선공간) 탄젠트 공간(Tangent Space, 접선 공간)은 매니폴드에서 접하는 공간을 의미한다. 곡선 매니폴드에서 탄젠트 공간은 탄젠트 선(Tangent Lines)이고 다음 그림의 빨강선과 같다. 구 매니폴드에서 탄젠트 공간은 탄젠트 평면(Tangent Planes)이고 다음 그림의 빨강 평면과 같다. 2022. 10. 27.
매니폴드(Manifold) 뜻 수학에서 매니폴드(Manifold)는 다양체라고 한다. 매니폴드는 국소적으로 유클리드 공간과 닯은 위상공간을 의미한다. 유클리드 공간이란 1차원인 직선, 2차원인 평면, 3차원인 공간 등 일반적으로 아는 공간을 의미한다. 가장 단순한 매니폴드는 원(Circle)이다. 아래 그림과 같이 원이 있을 때 원의 짧은 공간에서는 1차원 유클리드 공간인 직선과 비슷하다. 다음 그림과 같은 구(Shere) 매니폴드는 좁은 공간에서는 2차원 유클리드 공간인 평면과 비슷하다. 쉽게 생각하면 유클리드 공간이 직각 좌표 공간이라면 매니폴드는 굽은 공간이다. 2022. 10. 26.
역사상 가장 위대한 수학자 순위 역사상 가장 위대한 수학자 순위는 다음과 같다. 1위 아이작 뉴튼 2위 아르키메데스 3위 가우스 4위 오일러 5위 리만 2022. 8. 21.
소수점과 천단위 콤마 소수점 정수와 소수를 구분하는 기호를 영어로 Decimal Separator, Decimal Mark, Decimal Marker, Decimal Sign라고 한다. 정수와 소수를 구분하는 기호는 국가에 따라 점이거나 콤마를 사용한다. 미국, 아시아는 점을 사용하고 유럽은 콤마를 사용한다. 정수와 소수를 구분하는 기호가 점이고 Decimal Point라고 하고 콤마이면 Decimal Comma라고 한다. Decimal Point : 3.1415 Decimal Comma : 3,1415 천단위 구분 기호 천단위 구분 기호는 영어로 Thousands Separator라고 한다. 천단위 구분 기호는 점, 콤마, 스페이스 등이 있다. 정수와 소수를 구분하는 기호가 점이면 천단위 구분 기호는 콤마이고 정수와 소수.. 2022. 4. 16.
함수의 미분 가능성이 의미하는 것 함수의 미분 가능성(Differentiability)이란 어떤 함수가 미분 가능한지를 의미한다. 함수 f(x)에서 x=a에서 미분 계수 f'(a)가 존재할 때 a에서 미분 가능하다고 한다. 미분 계수가 존재하기 위해서는 미분의 정의로부터 다음의 좌미분계수와 우미분계수가 존재하고 둘이 동일해야 한다. 미분 가능하다는 것은 함수가 갑자기 변하는 지점이 없이 매끄럽다는 것을 의미한다. 아래의 함수는 a에서 미분 가능하지 않다. 이것은 a에서 매끄럽지 않다는 것을 의미한다. 함수는 미분 가능 횟수가 제한될 수 있다. 다음 함수와 같이 한 번은 미분이 가능하지만 두 번은 미분이 불가능한 경우도 있다. 아래 그림에서 f'(x=a)는 좌미분계수와 우미분계수가 다르기 때문에 f''(x)는 존재하지 않는다. 한번 미분 .. 2021. 12. 9.
황금비에 대한 오해 황금비(Golden Ratio, Golden Section)는 다음 식과 같다. 이 값은 약 1.618 이다. 흔히 예술 작품이나 건축에 황금비가 적용되었다고 생각하는데 대부분 황금비가 적용되어 있지 않다. 비너스상, 다비드상, 파르페논 신전, 피라미드, 모나리자, 애플사 로고 등은 황금비가 사용되고 있지 않다. 황금비가 예술적으로 더 좋다는 생각은 잘못 알고 있는 것이다. 2021. 8. 25.
면적에 관한 수학 문제 다음 그림과 같이 한변의 길이가 a 또는 b인 정사각형이 있을 때 각각의 면적은 Sa와 Sb이다. 이 때 Sb의 면적이 Sa의 2배일 때 a와 b의 관계는 어떻게 되는가? b는 다음 식과 같이 a에 √2 (~1.414)를 곱한 값이다. b = √2 × a 즉, 한변의 길이가 1.414배 증가하면 면적은 2배가 된다. 한변의 길이가 √3 (~1.732)배가 되면 면적은 3배가 되고 한변의 길이가 2배가 되면 면적은 4배가 된다. 2021. 8. 19.
보간법 (Interpolation) 보간법은 다음 그림과 같이 P1과 P2 지점을 알 때 Px를 추정하는 방법이다. 선형 보간법(Linear Interpolation)은 다음 그림과 같이 1차 방정식의 직선으로 추정하는 방법이다. 다항식 보간법(Polynomial Interpolation)은 다음 그림과 같이 2차 이상의 방정식으로 추정하는 방법이다. 보간법에는 이외에도 테일러 다항식 보간법, 뉴턴 보간법, 라그랑주 보간법 등이 있다. 보간법은 Curve fitting이나 Regression과 다른 개념이다. 2021. 8. 14.
입체각 계산 다음과 같은 콘 형태에서 입체각 Ω은 다음과 같다. θ가 60도일 때 입체각 Ω는 π (=3.1415)이다. 구는 θ가 180도이고 입체각은 4π이다. 2021. 8. 14.
2차 보간 방정식 3지점의 좌표를 알때 2차 보간 방정식(Quadratic Interpolation)을 구할 수 있다. 3개 지점 (x1,y1)와 (x2,y2)와 (x3,y3)를 알때 2차 보간 방정식은 다음과 같다. 위 식은 Lagrange Interpolation formula이다. ☞ 보간법 2021. 7. 21.
테일러 급수와 매크로린 급수 테일러 급수(Taylor series)는 다음과 같다. 여기서 f(x)는 실수 또는 복소수 함수이고 a는 임의의 실수 또는 복소수이다. 위의 테일러 급수에서 a가 0일 때를 매크로린(Maclaurin) 급수라고 한다. 지수함수를 매크로린 급수로 나타내면 다음과 같다. 삼각함수를 매크로린 급수로 나타내면 다음과 같다. 제곱근 함수의 매크로린 급수는 다음과 같다. 2021. 6. 7.
삼각함수 덧셈정리 삼각함수의 덧셈정리는 다음과 같다. 삼각함수의 덧셈정리를 영어로는 Angle addition and subtraction formulas라고 한다. 2021. 4. 25.
제 2 코사인 법칙 제2코사인 법칙을 이용하여 삼각형의 두 변 길이와 사이각을 이용하여 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. a와 b가 1일 때 θ (단위 Degree)에 따라 c의 크기는 다음과 같다. 2021. 2. 27.
삼각함수 값 - 사인, 코사인, 탄젠트 삼각함수 값 - 사인, 코사인, 탄젠트 2021. 2. 27.
논리 명제와 대우 영어로 명제는 뜻이 분명한 문장으로 참과 거짓을 검증할 수 있는 문장이다. 명제는 영어로 Proposition이다. (p → q) 대우는 영어로 Contraposition이다. (~q → ~p) 역은 영어로 Conversion이다. (q → p) 이는 영어로 Inversion이다. (~p → ~q) 부정은 영어로 Negation이다. (~p) 2021. 1. 30.
면을 채울 수 있는 정다각형 어떤 면을 같은 도형으로 채울 때 빈틈없이 채울 수 있는 도형의 종류는 무수히 많다. 하지만, 정다각형으로 면을 채울 때 가능한 종류는 정삼각형, 정사각형, 정육각형의 3가지 종류 뿐이다. ☞ 정다각형 2021. 1. 28.
정다각형 (Regular Polygon) 뜻 Regular Polygon은 모든 변의 길이가 같고 각도도 같은 도형을 의미한다. 한국어로는 정다각형이라고 한다. 정다각형의 종류에는 정삼각형, 정사각형, 정오각형, 정육각형 등이 있다. 2021. 1. 28.
좌표의 각도 계산식 위 그림에서 좌표 P의 각도 θ는 다음과 같다. θ는 X 축 위쪽에서는 양수이고 X 축 아래쪽에서는 음수이다. 이 때 각도 θ1는 다음과 같다. θ1는 Y 축 오른쪽에서는 양수이고 Y 축 왼쪽에서는 음수이다. 다음과 같이 Y축을 기준으로 반시계 방향으로 회전하는 각도 θ는 다음 식과 같다. 2020. 12. 12.
미분 곱의 법칙 증명 미분의 곱의 법칙 (Product rule)은 다음과 같이 2개 함수의 곱의 미분은 다음과 같다. 곱의 법칙은 다음과 같이 증명할 수 있다. 곱의 델타는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 2020. 5. 13.
벡터 내적 외적 공식 벡터 내적은 다음과 같다. 내적은 스칼라곱 (Scalar product, Dot product)이라고도 한다. θ는 벡터 A와 B의 사이 각도이다. 벡터 내적은 스칼라 값이다. 3차원 좌표에서 내적은 다음과 같이 계산한다. 벡터 외적은 다음과 같다. 내적은 벡터곱 (Vector product, Cross product)이라고도 한다. θ는 벡터 A와 B의 사이 각도이다. 벡터 외적은 벡터 값이다. 벡터 n의 방향은 다음과 같다. 3차원 좌표에서 외적은 다음과 같이 계산한다. 위 식은 다음 식과 같이 나타낼 수도 있다. 2020. 5. 10.
특이 행렬 특이 행렬(Singular matrix)은 역행렬이 존재하지 않는 행렬이다. 역행렬이 존재하지 않기 위해서는 행렬식(Determinant)이 0이 되어야 한다. 특이 행렬이 아닌 역행렬이 존재하는 행렬을 비특이 행렬(Non-singular matrix)이라고 한다. Singular는 문법에서 '단수'라는 뜻도 있지만 '특이한', '이상한' 이라는 뜻도 있다. 그래서, 블랙홀의 특이점(Singularity)은 이상한 점이라는 뜻이다. 2020. 5. 9.
나머지 정리 다항식 P(x)를 ax+b로 나누었을 때 몫은 Q(x)이고 나머지가 R이라고 하면 다음과 같다. 위 식에서 x에 -b/a을 대입하면 다음과 같다. 즉, 나머지를 구하기 위해 실제 나눌 필요 없이 P(x)에 나눌려고 하는 식이 0이 되는 -b/a을 대입하면 나머지를 바로 구할 수 있다. 이것을 나머지 정리 (Polynomial Remainder Theorem)라고 한다. 2020. 5. 4.
항등식 항등식(Identity)은 등식에 어떤 수를 넣더라고 성립하는 식이다. 다음과 같은 식에서 위 식을 정리하면 다음과 같다. 위 식은 좌변과 우변이 완전히 동일한 식이다. 즉, x에 어떤 숫자를 넣어도 항상 성립하는 식이다. 다음과 같은 식에서 위 식을 정리하면 다음과 같다. 위 식은 x가 0 또는 -2일때 만 성립하는 방정식(Equation)이다. 특정한 값에서만 성립하는 식을 방정식이라고 한다. 2020. 5. 4.
오일러 공식 오일러 공식(Euler's formula)은 다음과 같다. 오일러의 공식은 지수가 허수일 때를 정의한 식이라고 볼 수도 있다. 지수가 허수일 때 이와 같이 정의하면 기존의 지수법칙이 그대로 적용된다. 다음 식과 같이 오일러 공식으로 정의하면 지수 법칙이 성립한다. 참고로 오일러 등식 (Euler's identity)은 다음과 같고 오일러 공식과 다르다. ☞ 오일러 수학자 순위 2020. 5. 2.
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