Bilinear Transform (쌍선형 변환)

Bilinear Transform

Bilinear Transform을 Tustin's method라고도 한다.

z 변환을 s 변환으로 변경하기 위해서는 z 변환에 다음 식을 대입하면 된다.

하지만, 위 식은 조금 복잡하기 때문에 위 식 대신 다음 식을 대입하면 근사적인 값을 얻을 수 있다. 이 변환식을 Bilinear Transform이라고 한다.

s 변환을 z 변환으로 변경하기 위해서는 위 식의 역함수인 다음 식을 사용하면 된다.

1차 시스템의 Bilinear Transform

1차 시스템의 전달함수는 다음과 같다.

위 식을 Bilinear Transform하면 다음과 같다.

위 식을 정리하면 다음과 같다.

위 z 변환을 차분 방정식으로 변환하면 다음과 같다.

Matlab으로 Bilinear Transform 구하기

Matlab에서 Bilinear Transform을 구하는 함수는 다음과 같다.

[zd,pd,kd] = bilinear(z,p,k,fs)
[numd,dend] = bilinear(num,den,fs)
[Ad,Bd,Cd,Dd] = bilinear(A,B,C,D,fs)
[___] = bilinear(___,fp)

위와 같은 식을 샘플링 주파수 1000Hz로 Bilinear Transform하는 Matlab 예제는 다음과 같다.

num = [1];
den = [1 2];
[numd dend] = bilinear(num,den,1000)

위 코드를 실행하면 다음과 같다.

numd =
4.9950e-04 4.9950e-04
dend =
1.0000e+00 -9.9800e-01

Bilinear Transform하여 얻은 결과인 z-변환과 차분 방정식은 다음과 같다.

Octave에서 사용할 때는 다음과 같이 샘플링 주파수가 아니라 샘플링 주기를 사용해야 한다.

num = [1];
den = [1 2];
[numd dend] = bilinear(num,den,0.001)

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