미분 방정식에서 상태 방정식 구하기

상태 방정식(State Equation)은 다음과 같다.

x : 상태 벡터 (State vector)

y : 출력 벡터 (Output vector)

u : 입력 벡터 (Input vector)

 

A : State matrix (System matrix)

B : Input matrix

C : Output matrix

D : Feedthrough matrix (Feedforward matrix)

상태 방정식은 상태 x의 변화를 나타내는 식이다. 상태 x와 입력 u에 따라 다음 상태 

와 출력 y가 결정된다.

이산 시스템의 상태 방정식은 다음과 같다.

 

미분 방정식에서 상태 방정식 구하기

다음과 같은 시스템의 미분 방정식을 상태 방정식으로 변환한다.

 

1) 상태 방정식

상태 방정식은 다음과 같다. 위의 미분 방정식을 변형하여 A, B, C, D를 구해야 한다.

2) 상태값 설정

상태값을 다음과 같이 둔다. 상태값 x₁의 미분이 x₂가 되도록 한다.

3) 파라미터 A, B 구함

이제 A와 B를 구한다.

상태값 x₁의 미분값을 다음과 같이 구한다.

상태값 x₂의 미분값을 다음과 같이 구하기 위해 식 1은 다음과 같이 쓸 수 있다.

위 식으로 상태값 x₂의 미분값을 구할 수 있다.

위 식으로 다음과 같이 A와 B를 구할 수 있다.

 

4) 파라미터 C, D 구함

위에서 상태값 x₁은 다음과 같이 두었다.

따라서 C와 D는 다음과 같다.